20. а) Решите уравнение 3·4^(x+1) + 9^x − 7·6^x = 0. б) Найдите корни этого уравнения на отрезке [2; 3].

Представим степени через \(2^x\) и \(3^x\): \(12\cdot4^x+9^x-7\cdot6^x=0\). Разделим на \(6^x>0\) и положим \(t=\left(\frac23\right)^x>0\). Тогда \(12\left(\frac23\right)^x+\left(\frac32\right)^x-7=0\), то есть \(12t+\frac1t-7=0\).

После умножения на \(t\): \(12t^2-7t+1=0\). Поэтому \(t=\frac14\) или \(t=\frac13\).

\(\left(\frac23\right)^x=\frac14\Rightarrow x=\log_{2/3}\frac14\), а \(\left(\frac23\right)^x=\frac13\Rightarrow x=\log_{2/3}\frac13\). На отрезке \([2;3]\) проверяем: при \(x=2\), \(t=\frac49\), при \(x=3\), \(t=\frac8{27}\); оба найденных значения \(\frac14\) и \(\frac13\) меньше \(\frac8{27}\), поэтому корней на отрезке нет.

Ответ: а) \(x=\log_{2/3}\frac14;\ x=\log_{2/3}\frac13\); б) корней нет.