20. (МГУ, ф-т глобальных процессов, 2005) Решите неравенство \(\dfrac{1}{2x^2+3x}\leq\dfrac{1}{3x-2x^3}\).

ОДЗ: знаменатели не равны нулю, поэтому \(x\ne 0, -\dfrac32, \pm\sqrt{\dfrac32}\).

Перенесём выражения в левую часть и приведём к общей дроби:

\[\frac{1}{x(2x+3)}-\frac{1}{x(3-2x^2)}=\frac{-2x^2(x+1)}{x^2(2x+3)(3-2x^2)}.\]

С учётом ОДЗ сокращаем на \(x^2\). Получаем равносильное неравенство \(\dfrac{x+1}{(2x+3)(3-2x^2)}\geq 0\). Критические точки: \(-\dfrac32\), \(-\sqrt{\dfrac32}\), \(-1\), \(\sqrt{\dfrac32}\); также исключаем \(x=0\).

По знакам на промежутках получаем решение:

Ответ: \(\left(-\dfrac32,-\sqrt{\dfrac32}\right)\cup\left[-1,0\right)\cup\left(0,\sqrt{\dfrac32}\right]\).