23. (МГУ, физический ф-т, 2004) Решите систему неравенств $-2<\dfrac{2}{x^2-x-2}<-1$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 23. (МГУ, физический ф-т, 2004) Решите систему неравенств $-2<\dfrac{2}{x^2-x-2}<-1$.$ Фото задания

Accepted Answer

Знаменатель не должен обращаться в ноль: $x\ne-1,2$.

Чтобы дробь была меньше $-1$, она отрицательна, следовательно, $x^2-x-2<0$, то есть $-1<x<2$.

На этом промежутке знаменатель отрицателен. Умножая двойное неравенство на него, меняем знаки неравенств:

$-2<\dfrac{2}{x^2-x-2}<-1\iff -2<x^2-x-2<-1$.

Это равносильно системе $x^2-x>0$ и $x^2-x-1<0$. Пересечение решений с условием $-1<x<2$ даёт указанные интервалы.

Ответ: $(\dfrac{1-\sqrt5}{2};0)\cup(1;\dfrac{1+\sqrt5}{2})$.

23. (МГУ, физический ф-т, 2004) Решите систему неравенств \(-2&lt;\dfrac{2}{x^2-x-2}&lt;-1\).