21. (МГУ, ИСАА, 2006) Решите неравенство \(\dfrac{5x+1}{(x+2)(x-3)}\geq 1+\dfrac{16}{x-3}\).

ОДЗ: \(x\ne -2\), \(x\ne 3\).

Перенесём всё в левую часть и приведём к общему знаменателю:

\[\frac{5x+1}{(x+2)(x-3)}-1-\frac{16}{x-3}=\frac{5x+1-(x+2)(x-3)-16(x+2)}{(x+2)(x-3)}=\frac{-(x+5)^2}{(x+2)(x-3)}.\]

Числитель неположителен и равен нулю при \(x=-5\), где знаменатель не равен нулю. При остальных допустимых значениях дробь неотрицательна, когда знаменатель отрицателен: \(-2<x<3\).

Ответ: \(\{-5\}\cup(-2,3)\).