20. Ребята вычисляют, какую площадь могут иметь прямоугольники, каждый из которых складывают из 18 одинаковых палочек длиной 5 см, не ломая их. Верно ли, что можно получить только четыре различные значения площадей построенных таким образом прямоугольников?

18 палочек по 5 см можно расположить разными способами, образуя прямоугольники с разными сторонами. Возможные варианты длин сторон (в палочках): 1x17, 2x16, 3x15, 4x14, 5x13, 6x12, 7x11, 8x10, 9x9. Так как длина всех палочек 5см и их 18, то периметр равен 18*5=90см. При этом надо учесть, что палочки идут по сторонам прямоугольника, а значит сумма длин одной пары сторон равна 90/2=45см. Значит, надо найти пары чисел, дающие в сумме 45, при этом каждая сторона состоит из целого числа палочек. Варианты (длины сторон в палочках): 1 и 17(1*17=17); 2 и 16(2*16=32); 3 и 15(3*15=45); 4 и 14(4*14=56); 5 и 13(5*13=65); 6 и 12(6*12=72); 7 и 11(7*11=77); 8 и 10(8*10=80); 9 и 9(9*9=81). У нас 9 вариантов. Учитывая, что у прямоугольника 2 длины и 2 ширины, то надо 45 разбить на 2 числа, сумма которых равна 45/2. Из всех вариантов: 1x17; 2x16; 3x15; 4x14; 5x13; 6x12; 7x11; 8x10; 9x9. Палочки длиной 5 см. Получаем площади: 1*17*5*5=425; 2*16*5*5=800; 3*15*5*5=1125; 4*14*5*5=1400; 5*13*5*5=1625; 6*12*5*5=1800; 7*11*5*5=1925; 8*10*5*5=2000; 9*9*5*5=2025. Всего 9 разных площадей. Ответ: нет.