20. Решите неравенство \[ \frac{-14}{(x-5)^2-2} \geq 0 \]

Привет! Давай решим это неравенство шаг за шагом.

У нас есть дробь, которая должна быть больше или равна нулю. Дробь положительна, когда числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки (оба плюс или оба минус).

Шаг 1: Анализируем числитель.

Числитель равен -14. Это отрицательное число.

Шаг 2: Определяем знак знаменателя.

Чтобы вся дробь была больше или равна нулю (т.е. положительной или нулевой), а числитель отрицательный, знаменатель должен быть отрицательным.

Значит, нам нужно решить неравенство:

\[ (x-5)^2 - 2 < 0 \]

(Обрати внимание: знаменатель не может быть равен нулю, поэтому мы используем знак '<', а не '≤').

Шаг 3: Решаем квадратное неравенство.

\[ (x-5)^2 < 2 \]

Извлечем квадратный корень из обеих частей. Помни, что при извлечении корня из квадрата получается абсолютное значение:

\[ |x-5| < \sqrt{2} \]

Это означает:

\[ -\sqrt{2} < x-5 < \sqrt{2} \]

Теперь добавим 5 ко всем частям неравенства, чтобы выделить x:

\[ 5 - \sqrt{2} < x < 5 + \sqrt{2} \]

Шаг 4: Проверяем ограничения.

Мы уже учли, что знаменатель не равен нулю. Также надо убедиться, что $$5 - \sqrt{2}$$ и $$5 + \sqrt{2}$$ не делают знаменатель равным нулю. Так как $$ (x-5)^2 - 2 = 0 $$ при $$ x = 5 ± \sqrt{2} $$, эти точки исключены.

Ответ:

Решение неравенства: \[ 5 - \sqrt{2} < x < 5 + \sqrt{2} \]

Ответ: $$ (5 - \sqrt{2}; 5 + \sqrt{2}) $$