20 Решите неравенство \(\frac{x^2}{x-10} \le x\)

Решение:

Нужно решить неравенство \( \frac{x^2}{x-10} \le x \).

1. Перенесём \( x \) в левую часть, чтобы получить ноль в правой: \( \frac{x^2}{x-10} - x \le 0 \)
2. Приведём к общему знаменателю: \( \frac{x^2 - x(x-10)}{x-10} \le 0 \)
3. Раскроем скобки в числителе: \( \frac{x^2 - x^2 + 10x}{x-10} \le 0 \)
4. Упростим числитель: \( \frac{10x}{x-10} \le 0 \)
5. Теперь нужно найти корни числителя и знаменателя.
6. Числитель равен нулю при \( 10x = 0 \) → \( x = 0 \).
7. Знаменатель равен нулю при \( x - 10 = 0 \) → \( x = 10 \). Знаменатель не может быть равен нулю.
8. Разделим числовую прямую на интервалы с помощью найденных точек: \( (-\infty, 0] \), \( [0, 10) \), \( (10, +\infty) \). Обратите внимание, что \( x=0 \) включается в решение, так как неравенство нестрогое \( \le \), а \( x=10 \) не включается, так как на ноль делить нельзя.
9. Проверим знаки выражения \( \frac{10x}{x-10} \) в каждом интервале:
   • При \( x < 0 \) (например, \( x = -1 \)): \( \frac{10(-1)}{-1-10} = \frac{-10}{-11} = \frac{10}{11} > 0 \).
   • При \( 0 < x < 10 \) (например, \( x = 5 \)): \( \frac{10(5)}{5-10} = \frac{50}{-5} = -10 < 0 \).
   • При \( x > 10 \) (например, \( x = 11 \)): \( \frac{10(11)}{11-10} = \frac{110}{1} = 110 > 0 \).
10. Нам нужно, чтобы выражение было \( \le 0 \). Это выполняется в интервале \( (0, 10) \).

Ответ: \( (0; 10) \).