23. Прямая, параллельная основаниям трапеции ABCD, пересекает её боковые стороны AB и CD в точках K и N соответственно. Найдите длину отрезка KN, если AD=45, BC = 15, CN=12, ND = 18.

Пошаговое решение:

1. Пусть \( KN \) - отрезок, параллельный основаниям \( AD \) и \( BC \) трапеции \( ABCD \).
2. Точка \( K \) лежит на боковой стороне \( AB \), а точка \( N \) - на боковой стороне \( CD \).
3. Отрезок \( KN \) делит боковую сторону \( CD \) на отрезки \( CN = 12 \) и \( ND = 18 \).
4. Общая длина основания \( CD = CN + ND = 12 + 18 = 30 \).
5. Так как \( KN \) параллелен основаниям, то он делит боковые стороны в одном и том же отношении. Это означает, что отношение \( \frac{CK}{KD} = \frac{BN}{NA} = \frac{CN}{ND} \) (если бы \( KN \) был средней линией). Однако, \( KN \) не является средней линией, так как \( CN
   eq ND \).
6. В данном случае, отрезок \( KN \) делит боковые стороны \( AB \) и \( CD \) в некотором отношении. Пусть это отношение равно \( m:n \). То есть \( \frac{CK}{KB} = \frac{DN}{NA} \) (если \( K \) на \( AB \) и \( N \) на \( CD \)).
7. Однако, по условию, \( K \) на \( AB \) и \( N \) на \( CD \). Отрезок \( KN \) параллелен основаниям.
8. Рассмотрим отношение, в котором точка \( N \) делит основание \( CD \): \( rac{CN}{ND} = rac{12}{18} = rac{2}{3} \).
9. Следовательно, точка \( K \) делит боковую сторону \( AB \) в том же отношении: \( rac{AK}{KB} = rac{2}{3} \).
10. Длина отрезка \( KN \) находится по формуле: \( KN = rac{AD cdot CN + BC cdot ND}{CN + ND} \) (где \( CN \) и \( ND \) — отрезки, на которые точка \( N \) делит сторону \( CD \), а \( AD \) и \( BC \) — соответствующие основания).
11. Подставим значения: \( KN = rac{45 cdot 12 + 15 cdot 18}{12 + 18} \)
12. Вычислим: \( KN = rac{540 + 270}{30} = rac{810}{30} = 27 \).

Ответ: 27