20 Решите систему уравнений { 5x^2 + y^2 = 61, { 15x^2 + 3y^2 = 61x.

Решение системы уравнений

Для решения данной системы уравнений будем использовать метод подстановки или метод сложения. Проанализируем уравнения:

• Уравнение 1: 5x^2 + y^2 = 61
• Уравнение 2: 15x^2 + 3y^2 = 61x

Заметим, что второе уравнение можно упростить, разделив обе части на 3:

(15x^2 + 3y^2) / 3 = 61x / 3

5x^2 + y^2 = 61x / 3

Теперь мы имеем новую систему:

• Уравнение 1: 5x^2 + y^2 = 61
• Уравнение 3: 5x^2 + y^2 = 61x / 3

Приравнивая правые части Уравнения 1 и Уравнения 3, получаем:

61 = 61x / 3

Решаем это уравнение относительно x:

61 * 3 = 61x

183 = 61x

x = 183 / 61

x = 3

Теперь подставим значение x = 3 в Уравнение 1, чтобы найти y:

5 * (3)^2 + y^2 = 61

5 * 9 + y^2 = 61

45 + y^2 = 61

y^2 = 61 - 45

y^2 = 16

y = ±sqrt(16)

y = ±4

Таким образом, у нас есть два решения:

• x = 3, y = 4
• x = 3, y = -4

Проверка:

Для пары (3, 4):

• 5 * (3)^2 + (4)^2 = 5 * 9 + 16 = 45 + 16 = 61 (Верно)
• 15 * (3)^2 + 3 * (4)^2 = 15 * 9 + 3 * 16 = 135 + 48 = 183. Также 61x = 61 * 3 = 183 (Верно)

Для пары (3, -4):

• 5 * (3)^2 + (-4)^2 = 5 * 9 + 16 = 45 + 16 = 61 (Верно)
• 15 * (3)^2 + 3 * (-4)^2 = 15 * 9 + 3 * 16 = 135 + 48 = 183. Также 61x = 61 * 3 = 183 (Верно)

Ответ: (3; 4) и (3; -4).