22 Постройте график функции y= (0,75x^2 -1,5x)|x| x-2 Определите, при каких значениях т прямая y=т не имеет с графиком ни одной общей точки.

Анализ функции и построение графика:

Функция задана как: y = (0.75x^2 - 1.5x)|x| / (x - 2)

1. Область определения:

Знаменатель не должен быть равен нулю, поэтому x - 2 ≠ 0, что означает x ≠ 2. Область определения: x ∈ (-∞, 2) ∪ (2, +∞).

2. Разбор модуля |x|:

Рассмотрим два случая:

Случай 1: x ≥ 0

В этом случае |x| = x. Функция принимает вид:

y = (0.75x^2 - 1.5x) * x / (x - 2)

y = (0.75x^3 - 1.5x^2) / (x - 2)

Выделим полный квадрат в числителе:

0.75x^2 - 1.5x = 0.75x(x - 2)

Тогда функция для x ≥ 0 и x ≠ 2 будет:

y = (0.75x(x - 2) * x) / (x - 2)

При x ≠ 2, мы можем сократить (x - 2):

y = 0.75x^2 (при x ≥ 0 и x ≠ 2)

Это парабола, ветви вверх. Вершина в точке (0, 0). При x = 2, значение функции будет 0.75 * (2)^2 = 0.75 * 4 = 3. Следовательно, в точке x = 2 будет вертикальная асимптота, и график будет приближаться к значению 3, но не достигать его.

Случай 2: x < 0

В этом случае |x| = -x. Функция принимает вид:

y = (0.75x^2 - 1.5x) * (-x) / (x - 2)

y = (-0.75x^3 + 1.5x^2) / (x - 2)

Разложим числитель:

-0.75x^3 + 1.5x^2 = -0.75x^2(x - 2)

Тогда функция для x < 0 будет:

y = (-0.75x^2 * (x - 2)) / (x - 2)

При x ≠ 2 (что выполняется для x < 0), мы можем сократить (x - 2):

y = -0.75x^2 (при x < 0)

Это парабола, ветви вниз. Вершина в точке (0, 0).

3. Анализ поведения функции в точке x=2:

В точке x=2 у нас вертикальная асимптота.

Рассмотрим предел при x → 2:

• Если x → 2+ (справа), то x > 0, используется y = 0.75x^2. Предел будет 0.75 * (2)^2 = 3.
• Если x → 2- (слева), то x > 0, используется y = 0.75x^2. Предел будет 0.75 * (2)^2 = 3.

Таким образом, при x=2 функция не определена, но стремится к 3.

4. Построение графика:

График состоит из двух частей параболы:

• Для x ≥ 0, x ≠ 2: y = 0.75x^2 (часть параболы с ветвями вверх, начиная с (0,0), но с разрывом в точке (2,3)).
• Для x < 0: y = -0.75x^2 (часть параболы с ветвями вниз, заканчиваясь в (0,0)).

Точка (0,0) является вершиной для обеих частей параболы, но в этой точке функция равна 0.

5. Определение значений m, при которых прямая y = m не имеет общих точек с графиком:

Чтобы прямая y = m не имела общих точек с графиком, она должна проходить мимо всех значений, которые принимает функция.

Рассмотрим диапазон значений функции:

• Для x < 0, y = -0.75x^2. Максимальное значение этой части функции — 0 (при x=0), минимального значения нет (уходит в -∞). Таким образом, эта часть принимает значения (-∞, 0].
• Для x ≥ 0, x ≠ 2, y = 0.75x^2. Минимальное значение этой части функции — 0 (при x=0). Значение функции стремится к 3 при x → 2, но не достигает его. При x > 2, функция возрастает и уходит в +∞. Таким образом, эта часть принимает значения [0, 3) ∪ (3, +∞).

Объединяя диапазоны значений:

(-∞, 0] ∪ [0, 3) ∪ (3, +∞) = (-∞, 3) ∪ (3, +∞).

Функция принимает все значения, кроме 3. Следовательно, прямая y = m не будет иметь общих точек с графиком, если m = 3.

Примечание: Визуализация графика будет представлена с помощью Chart.js.

Ответ: Прямая y = m не имеет общих точек с графиком, когда m = 3.