20. Решите систему уравнений { (x-6)(y-8)=0, $$\frac{y-5}{x+y-11}=3$$ }

Решение:

Данная система уравнений:

• \[ \begin{cases} (x-6)(y-8)=0 \\ \frac{y-5}{x+y-11}=3 \end{cases} \]

Из первого уравнения \[ (x-6)(y-8)=0 \]

следует, что либо x - 6 = 0, либо y - 8 = 0.

Рассмотрим два случая:

Случай 1: x - 6 = 0, то есть x = 6.

Подставим x = 6 во второе уравнение:

• \[ \frac{y-5}{6+y-11}=3 \]
• \[ \frac{y-5}{y-5}=3 \]

Это уравнение не имеет решений, так как если y-5 ≠ 0, то 1=3, что невозможно. Если y-5 = 0, то знаменатель равен нулю, что недопустимо.

Случай 2: y - 8 = 0, то есть y = 8.

Подставим y = 8 во второе уравнение:

• \[ \frac{8-5}{x+8-11}=3 \]
• \[ \frac{3}{x-3}=3 \]

Из этого уравнения следует:

• \[ 3 = 3(x-3) \]
• \[ 1 = x-3 \]
• \[ x = 4 \]

Проверим полученное решение (4; 8) в исходной системе:

• Первое уравнение: (4-6)(8-8) = (-2)(0) = 0 (верно).
• Второе уравнение: rac{8-5}{4+8-11} = rac{3}{12-11} = rac{3}{1} = 3 (верно).

Ответ: (4; 8)