21. Первый рабочий за час делает на 5 деталей больше, чем второй, и выполняет заказ, стоящий из 180 деталей, на 3 часа быстрее, чем второй рабочий, выполняющий такой заказ. Сколько деталей в час делает первый рабочий?

Решение:

Пусть:

• x — производительность первого рабочего (деталей в час).
• y — производительность второго рабочего (деталей в час).

По условию задачи:

• Первый рабочий делает на 5 деталей больше, чем второй: x = y + 5.
• Первый рабочий выполняет заказ (180 деталей) на 3 часа быстрее второго.

Время выполнения заказа первым рабочим: t1 = 180 / x.

Время выполнения заказа вторым рабочим: t2 = 180 / y.

По условию t1 = t2 - 3, что эквивалентно 180/x = 180/y - 3.

Теперь у нас есть система уравнений:

• \[ \begin{cases} x = y + 5 \\ \frac{180}{x} = \frac{180}{y} - 3 \end{cases} \]

Подставим первое уравнение во второе:

• \[ \frac{180}{y+5} = \frac{180}{y} - 3 \]

Приведем к общему знаменателю:

• \[ \frac{180}{y+5} = \frac{180 - 3y}{y} \]

Перемножим крест-накрест:

• \[ 180y = (180 - 3y)(y+5) \]
• \[ 180y = 180y + 900 - 3y^2 - 15y \]

Упростим уравнение:

• \[ 0 = 900 - 3y^2 - 15y \]
• \[ 3y^2 + 15y - 900 = 0 \]

Разделим на 3:

• \[ y^2 + 5y - 300 = 0 \]

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

• D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4(1)(-300) = 25 + 1200 = 1225
• √D = 35

Найдем значения y:

• \[ y_1 = \frac{-5 + 35}{2} = \frac{30}{2} = 15 \]
• \[ y_2 = \frac{-5 - 35}{2} = \frac{-40}{2} = -20 \]

Производительность не может быть отрицательной, поэтому y = 15 деталей в час.

Теперь найдем производительность первого рабочего:

• x = y + 5 = 15 + 5 = 20 деталей в час.

Ответ: 20