20. Решите уравнение (х – 4)4 – 4(x-4)2 – 21 = 0.

Решение:

Сделаем замену переменной. Пусть \( y = (x - 4)^2 \). Тогда уравнение примет вид:

\[ y^2 - 4y - 21 = 0 \]

Решим это квадратное уравнение относительно \( y \). Найдем дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-21) = 16 + 84 = 100 \]\[ \sqrt{D} = 10 \]

Найдем корни:

\[ y_1 = \frac{-(-4) + 10}{2 \cdot 1} = \frac{4 + 10}{2} = \frac{14}{2} = 7 \]\[ y_2 = \frac{-(-4) - 10}{2 \cdot 1} = \frac{4 - 10}{2} = \frac{-6}{2} = -3 \]

Теперь вернёмся к исходной переменной \( x \). У нас два случая:

1. \( (x - 4)^2 = 7 \)

Извлечём корень из обеих частей:

\[ x - 4 = \pm\sqrt{7} \]

Тогда:

\[ x_1 = 4 + \sqrt{7} \] \[ x_2 = 4 - \sqrt{7} \]

\( (x - 4)^2 = -3 \)

Это уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат числа не может быть отрицательным.

Ответ: $$4 + \sqrt{7}$$, $$4 - \sqrt{7}$$.