23. Отрезки AB и CD являются хордами окружности. Найдите длину хорды CD, если AB = 18, а расстояния от центра окружности до хорд AB и CD равны соответственно 12 и 9.

Решение:

Пусть \( O \) — центр окружности, \( R \) — радиус окружности.

Расстояние от центра окружности до хорды перпендикулярно хорде и делит её пополам. Пусть \( OM \) — расстояние от центра до хорды \( AB \), тогда \( AM = MB = \frac{AB}{2} = \frac{18}{2} = 9 \). \( OM = 12 \).

Рассмотрим прямоугольный треугольник \( \triangle OMB \). По теореме Пифагора:

\[ R^2 = OM^2 + MB^2 \]\[ R^2 = 12^2 + 9^2 \]\[ R^2 = 144 + 81 \]\[ R^2 = 225 \]

Теперь рассмотрим хорду \( CD \). Пусть \( OK \) — расстояние от центра до хорды \( CD \), тогда \( CK = KD = \frac{CD}{2} \). \( OK = 9 \).

Рассмотрим прямоугольный треугольник \( \triangle OKD \). По теореме Пифагора:

\[ R^2 = OK^2 + KD^2 \]

Мы знаем, что \( R^2 = 225 \) и \( OK = 9 \). Подставим эти значения:

\[ 225 = 9^2 + KD^2 \]\[ 225 = 81 + KD^2 \]\[ KD^2 = 225 - 81 \]\[ KD^2 = 144 \] \[ KD = \sqrt{144} = 12 \]

Длина хорды \( CD \) равна \( 2 \cdot KD \):

\[ CD = 2 \cdot 12 = 24 \]

Ответ: 24.