20 Тип 20 № 472395 i Решите неравенство (х²-2x-15) (x²-7x+10) ≤ 0.

Для решения этого неравенства нам нужно найти корни каждого квадратного трехчлена и затем использовать метод интервалов.

1. Найдем корни первого трехчлена:

x² - 2x - 15 = 0

По теореме Виета: x₁ + x₂ = 2, x₁ * x₂ = -15. Корни: x₁ = 5, x₂ = -3.

2. Найдем корни второго трехчлена:

x² - 7x + 10 = 0

По теореме Виета: x₁ + x₂ = 7, x₁ * x₂ = 10. Корни: x₁ = 5, x₂ = 2.

3. Разложим трехчлены на множители:

• x² - 2x - 15 = (x - 5)(x + 3)
• x² - 7x + 10 = (x - 5)(x - 2)

4. Подставим разложенные множители в неравенство:

(x - 5)(x + 3) * (x - 5)(x - 2) ≤ 0

(x - 5)²(x + 3)(x - 2) ≤ 0

5. Применим метод интервалов:

Отметим корни на числовой оси: -3, 2, 5. Обратите внимание, что корень x = 5 имеет четную кратность (квадрат), поэтому знак на интервалах вокруг него не меняется.

• Интервал (-∞, -3]: Знак выражения будет отрицательным (например, при x = -4: (-9)²(-1)(-6) > 0).
• Интервал [-3, 2]: Знак выражения будет положительным (например, при x = 0: (-5)²(3)(-2) < 0).
• Интервал [2, 5]: Знак выражения будет отрицательным (например, при x = 3: (-2)²(6)(1) < 0).
• Интервал [5, +∞): Знак выражения будет отрицательным (например, при x = 6: (1)²(9)(4) > 0).

Нам нужно найти интервалы, где выражение ≤ 0.

6. Запишем ответ:

Решение неравенства: x ∈ [-3, 2] ∪ {5}.

Ответ: [-3; 2] ∪ {5}