22 Тип 22 № 338295 i Постройте график функции y = (x²+7x+12)(x²-x-2) / (x²+5x+4) и определите, при каких значениях т прямая y = т имеет с графиком ровно одну общую точку.

1. Преобразуем функцию:

Сначала разложим числитель и знаменатель на множители:

x² + 7x + 12 = (x + 3)(x + 4)

x² - x - 2 = (x - 2)(x + 1)

x² + 5x + 4 = (x + 1)(x + 4)

Теперь подставим разложенные множители в выражение функции:

y = rac{(x + 3)(x + 4)(x - 2)(x + 1)}{(x + 1)(x + 4)}

2. Определим область допустимых значений (ОДЗ):

Знаменатель не должен быть равен нулю, поэтому:

(x + 1)(x + 4) ≠ 0

x ≠ -1 и x ≠ -4.

3. Упростим функцию:

Сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе:

y = (x + 3)(x - 2)

y = x² + x - 6

Это парабола с выколотыми точками в x = -1 и x = -4.

4. Найдем значения функции в выколотых точках:

При x = -1: y = (-1)² + (-1) - 6 = 1 - 1 - 6 = -6. Точка (-1; -6) выколота.

При x = -4: y = (-4)² + (-4) - 6 = 16 - 4 - 6 = 6. Точка (-4; 6) выколота.

5. Построим график:

График функции — это парабола y = x² + x - 6 с вершиной в точке x = -b/(2a) = -1/(2*1) = -0.5. Вершина параболы: y = (-0.5)² + (-0.5) - 6 = 0.25 - 0.5 - 6 = -6.25. То есть вершина в (-0.5; -6.25). Также на графике должны быть отмечены выколотые точки (-1; -6) и (-4; 6).

6. Определим значения 'm', при которых прямая y = m имеет ровно одну общую точку с графиком:

Прямая y = m — это горизонтальная линия. Она будет иметь ровно одну общую точку с графиком в следующих случаях:

• Когда прямая проходит через вершину параболы, и эта вершина не является выколотой точкой. Вершина параболы находится в точке (-0.5, -6.25), поэтому y = -6.25.
• Когда прямая проходит через одну из выколотых точек, при условии, что вторая выколотая точка не создает еще одну точку пересечения (или, если она создает, то у нас должно быть ровно одно пересечение).

Рассмотрим выколотые точки:

• Выколотая точка (-1; -6). Если y = -6, прямая y = -6 пересекает параболу в двух точках: вершине x = -0.5 (y=-6.25) и точке x = -1 (y=-6). Она также пересечет параболу в точке x = -2 (y = (-2)^2 + (-2) - 6 = 4 - 2 - 6 = -4). Нет, эта линия пересекает параболу в двух точках, одна из которых выколота.
• Выколотая точка (-4; 6). Если y = 6, прямая y = 6 пересекает параболу в двух точках: x = -4 (выколотая) и x = 3 (y = 3^2 + 3 - 6 = 9 + 3 - 6 = 6). Таким образом, прямая y = 6 имеет ровно одну точку пересечения с графиком (точка (3; 6)).

Следовательно, прямая y = m будет иметь ровно одну общую точку с графиком, когда:

• y = -6.25 (проходит через вершину параболы)
• y = 6 (проходит через одну из выколотых точек, а вторая точка пересечения является существующей точкой графика)

Ответ: -6.25; 6