20. Упростите выражение: \(\frac{x}{y}\left(\frac{y}{x}-\frac{x}{y}\left(\frac{y^2}{x^2}-\frac{x}{y}\left(\frac{y^3}{x^3}-\frac{y^4}{x^4}\right)\right)\right)\).

Question

Вопрос:

Accepted Answer

Обозначим \(t=\frac{y}{x}\), тогда \(\frac{x}{y}=\frac{1}{t}\). Считаем выражение изнутри:

\(\frac{y^3}{x^3}-\frac{y^4}{x^4}=t^3-t^4\), поэтому \(\frac{y^2}{x^2}-\frac{x}{y}(t^3-t^4)=t^2-\frac{1}{t}(t^3-t^4)=t^3\).

Далее \(\frac{y}{x}-\frac{x}{y}t^3=t-\frac{1}{t}t^3=t-t^2\).

Следовательно, всё выражение равно \(\frac{1}{t}(t-t^2)=1-t\).

Ответ: \(\frac{x-y}{x}\).