21. Упростите выражение: \(\left(\frac{1-x}{x^2+x^3-x^4}-\frac{x^3+x-2}{x^5-x^3-2x^2-x}\right):\left(\frac{1+x}{x^3+x^4+x^5}-\frac{1-x+x^2}{x^3}\right)\).

Question

Вопрос:

21. Упростите выражение: \(\left(\frac{1-x}{x^2+x^3-x^4}-\frac{x^3+x-2}{x^5-x^3-2x^2-x}\right):\left(\frac{1+x}{x^3+x^4+x^5}-\frac{1-x+x^2}{x^3}\right)\).

Accepted Answer

По изображению знаменатель второй дроби во второй скобке прочитан как \(x^3\). Разложим знаменатели на множители:

\(x^2+x^3-x^4=-x^2(x^2-x-1)\), \(x^5-x^3-2x^2-x=x(x^2+x+1)(x^2-x-1)\), \(x^3+x^4+x^5=x^3(x^2+x+1)\).

Первая скобка после приведения к общему знаменателю равна \(\frac{(x-1)(-x^3-x+1)}{x^2(x^2+x+1)(x^2-x-1)}\). Вторая скобка равна \(\frac{1-x-x^3}{x^2(x^2+x+1)}\).

Делим первую скобку на вторую и сокращаем общие множители:

\(\frac{(x-1)(1-x-x^3)}{x^2(x^2+x+1)(x^2-x-1)}\cdot\frac{x^2(x^2+x+1)}{1-x-x^3}=\frac{x-1}{x^2-x-1}\).

Ответ: \(\frac{x-1}{x^2-x-1}\), при допустимых значениях переменных исходного выражения.