20. Вычислите: b) \(\frac{25 \cdot (108 \cdot 6^7 - 108 \cdot 6^6)}{216^3 - 36^4}\)

Решение:

1. Вынесем общий множитель в числителе: \( 25 \cdot 108 \cdot (6^7 - 6^6) = 25 \cdot 108 \cdot 6^6 \cdot (6 - 1) = 25 \cdot 108 \cdot 6^6 \cdot 5 \).
2. Преобразуем знаменатель: \( 216^3 - 36^4 = (6^3)^3 - (6^2)^4 = 6^9 - 6^8 = 6^8 \cdot (6 - 1) = 6^8 \cdot 5 \).
3. Заменим числа в числителе: \( 108 = 2 \cdot 54 = 2 \cdot 2 \cdot 27 = 4 \cdot 27 \).
4. Перепишем числитель: \( 25 \cdot 108 \cdot 5 \cdot 6^6 = 25 \cdot (4 \cdot 27) \cdot 5 \cdot 6^6 = 100 \cdot 27 \cdot 5 \cdot 6^6 = 500 \cdot 27 \cdot 6^6 \).
5. Перепишем знаменатель: \( 6^8 \cdot 5 = 6^2 \cdot 6^6 \cdot 5 = 36 \cdot 6^6 \cdot 5 = 180 \cdot 6^6 \).
6. Разделим числитель и знаменатель: \( \frac{500 \cdot 27 \cdot 6^6}{180 \cdot 6^6} = \frac{500 \cdot 27}{180} = \frac{50 \cdot 27}{18} = \frac{50 \cdot 3}{2} = 25 \cdot 3 = 75 \).

Ответ: 75