206. 8) Вычислить значение каждой из тригонометрических функций, если ctg α = 7/24 и π < α < 3π/2.

Решение:

1. Используем формулу \( 1 + \operatorname{ctg}^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha} \).
2. \( 1 + \left( \frac{7}{24} \right)^2 = 1 + \frac{49}{576} = \frac{576 + 49}{576} = \frac{625}{576} \).
3. \( \frac{1}{\sin^2 \alpha} = \frac{625}{576} \), следовательно, \( \sin^2 \alpha = \frac{576}{625} \).
4. Так как \( \pi < \alpha < \frac{3\pi}{2} \) (третий квадрант), \( \sin \alpha < 0 \).
5. \( \sin \alpha = -\sqrt{\frac{576}{625}} = -\frac{24}{25} \).
6. Найдём \( \cos \alpha \): \( \cos \alpha = \operatorname{ctg} \alpha \cdot \sin \alpha = \frac{7}{24} \cdot \left( -\frac{24}{25} \right) = -\frac{7}{25} \).
7. Найдём \( \operatorname{tg} \alpha \): \( \operatorname{tg} \alpha = \frac{1}{\operatorname{ctg} \alpha} = \frac{24}{7} \).

Ответ: \( \sin \alpha = -\frac{24}{25}, \cos \alpha = -\frac{7}{25}, \operatorname{tg} \alpha = \frac{24}{7} \).