21.2. Вычислите определённые интегралы: а) $\int_1^2\left(\frac{3}{x^3}+x^2+2\right)dx$; б) $\int_0^1\left(\frac{2}{\sqrt{x+1}}-\frac{3}{(x+1)^2}\right)dx$; в) $\int_{-2}^{-1}\left(-\frac{5}{x^2}+x^4-3x\right)dx$; г) $\int_5^8\left(\frac{2}{(x-2)^3}-\frac{1}{\sqrt{x-4}}\right)dx$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 21.2. Вычислите определённые интегралы: а) $\int_1^2\left(\frac{3}{x^3}+x^2+2\right)dx$; б)…$ Фото задания

Accepted Answer

а) Первообразная: $-\frac{3}{2x^2}+\frac{x^3}{3}+2x$. Поэтому $\left.-\frac{3}{2x^2}+\frac{x^3}{3}+2x\right|_1^2=\frac{151}{24}-\frac56=\frac{131}{24}$.
б) Первообразная: $4\sqrt{x+1}+\frac{3}{x+1}$. Поэтому $\left.4\sqrt{x+1}+\frac{3}{x+1}\right|_0^1=4\sqrt2+\frac32-7=4\sqrt2-\frac{11}{2}$.
в) Первообразная: $\frac5x+\frac{x^5}{5}-\frac{3x^2}{2}$. Тогда $\left.\frac5x+\frac{x^5}{5}-\frac{3x^2}{2}\right|_{-2}^{-1}=\frac{33}{10}-\left(-\frac{101}{10}\right)=\frac{67}{5}$.
г) Первообразная: $-\frac{1}{(x-2)^2}-2\sqrt{x-4}$. Тогда $\left.-\frac{1}{(x-2)^2}-2\sqrt{x-4}\right|_5^8=-\frac{145}{36}+\frac{19}{9}=-\frac{23}{12}$.

Ответ: а) $\frac{131}{24}$; б) $4\sqrt2-\frac{11}{2}$; в) $\frac{67}{5}$; г) $-\frac{23}{12}$.