21.3. Вычислите определённые интегралы: а) $\int_{-1}^{1}\frac{8x^3+36x^2+54x+27}{2x+3}\,dx$; б) $\int_0^2\frac{x^3-27}{x^2+3x+9}\,dx$; в) $\int_0^1\frac{x^4-18x^2+81}{x^2-6x+9}\,dx$; г) $\int_1^2\frac{x^3-64}{x^2+4x+16}\,dx$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 21.3. Вычислите определённые интегралы: а) $\int_{-1}^{1}\frac{8x^3+36x^2+54x+27}{2x+3}\,dx$; б)…$ Фото задания

Accepted Answer

а) Делением многочленов получаем $\frac{8x^3+36x^2+54x+27}{2x+3}=4x^2+12x+9$. Следовательно, $\left.\left(\frac{4x^3}{3}+6x^2+9x\right)\right|_{-1}^{1}=\frac{49}{3}-\left(-\frac{13}{3}\right)=\frac{62}{3}$.
б) По формуле разности кубов $x^3-27=(x-3)(x^2+3x+9)$, поэтому подынтегральная функция равна $x-3$. Тогда $\left.\left(\frac{x^2}{2}-3x\right)\right|_0^2=-4$.
в) Числитель раскладывается как $(x^2-9)^2=(x-3)^2(x+3)^2$, а знаменатель равен $(x-3)^2$. На отрезке интегрирования дробь равна $(x+3)^2$. Тогда $\left.\left(\frac{x^3}{3}+3x^2+9x\right)\right|_0^1=\frac{37}{3}$.
г) По формуле разности кубов $x^3-64=(x-4)(x^2+4x+16)$, поэтому подынтегральная функция равна $x-4$. Тогда $\left.\left(\frac{x^2}{2}-4x\right)\right|_1^2=-\frac52$.

Ответ: а) $\frac{62}{3}$; б) $-4$; в) $\frac{37}{3}$; г) $-\frac52$.

21.3. Вычислите определённые интегралы: а) \(\int_{-1}^{1}\frac{8x^3+36x^2+54x+27}{2x+3}\,dx\); б) \(\int_0^2\frac{x^3-27}{x^2+3x+9}\,dx\); в) \(\int_0^1\frac{x^4-18x^2+81}{x^2-6x+9}\,dx\); г) \(\int_1^2\frac{x^3-64}{x^2+4x+16}\,dx\).