21. Биссектриса одного угла треугольника равна биссектрисе его внешнего угла при той же вершине (см. рисунок). Найдите разность двух других углов треугольника.

Обозначим углы треугольника при концах основания через B и C, а длины прилежащих к отмеченной вершине сторон — через b и c. Длины внутренней и внешней биссектрис этой вершины равны соответственно \(\frac{2bc\cos(A/2)}{b+c}\) и \(\frac{2bc\sin(A/2)}{|b-c|}\).

По условию эти длины равны, поэтому \(\frac{|b-c|}{b+c}=\tan(A/2)\). По теореме синусов \(\frac{|b-c|}{b+c}=\frac{|\sin B-\sin C|}{\sin B+\sin C}=\tan(|B-C|/2)\tan(A/2)\). Так как \(A>0\), получаем \(\tan(|B-C|/2)=1\), откуда \(|B-C|=90°\).

Ответ: 90°.