21.Диагональ правильной четырехугольной призмы равна 3,5 см, а диагональ боковой грани 2,5 см. Найдите объем призмы.

Решение:

Обозначим:

• \( d \) — диагональ призмы;
• \( d_{гр} \) — диагональ боковой грани;
• \( H \) — высота призмы;
• \( a \) — сторона основания;
• \( S_{осн} \) — площадь основания;
• \( V \) — объем призмы.

По теореме Пифагора для диагонали боковой грани:

\[ d_{гр}^2 = a^2 + H^2 \]

По теореме Пифагора для диагонали призмы:

\[ d^2 = d_{гр}^2 + a^2 \]

Подставим известные значения:

\[ (3.5 \text{ см})^2 = (2.5 \text{ см})^2 + a^2 \]

\( 12.25 = 6.25 + a^2 \)

\( a^2 = 12.25 - 6.25 = 6 \)

\( a = \sqrt{6} \text{ см} \)

Теперь найдем высоту:

\[ (2.5 \text{ см})^2 = (\sqrt{6} \text{ см})^2 + H^2 \]

\( 6.25 = 6 + H^2 \)

\( H^2 = 6.25 - 6 = 0.25 \)

\( H = \sqrt{0.25} = 0.5 \text{ см} \)

Площадь основания правильной четырехугольной призмы:

\[ S_{осн} = a^2 = (\sqrt{6} \text{ см})^2 = 6 \text{ см}^2 \]

Объем призмы:

\[ V = S_{осн} \cdot H = 6 \text{ см}^2 \cdot 0.5 \text{ см} = 3 \text{ см}^3 \]

Ответ: 3 см³.