23.Основание пирамиды — прямоугольник со сторонами 9 м и 12 м, все боковые ребра равны 12,5 м. Найдите объем пирамиды.

Решение:

Объем пирамиды вычисляется по формуле: \( V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H \), где \( S_{осн} \) — площадь основания, \( H \) — высота пирамиды.

1. Найдем площадь основания:

\[ S_{осн} = 9 \text{ м} \cdot 12 \text{ м} = 108 \text{ м}^2 \]

2. Найдем высоту пирамиды.

В основании лежит прямоугольник. Центр основания — точка пересечения диагоналей. Боковые ребра равны, значит, вершина пирамиды проецируется в центр основания.

Найдем длину диагонали основания \( d \):

\[ d = \sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15 \text{ м} \]

Половина диагонали основания равна \( \frac{15}{2} = 7.5 \text{ м} \).

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковым ребром, высотой пирамиды и половиной диагонали основания. По теореме Пифагора:

\[ H^2 + (7.5 \text{ м})^2 = (12.5 \text{ м})^2 \]

\( H^2 + 56.25 = 156.25 \)

\( H^2 = 156.25 - 56.25 = 100 \)

\( H = \sqrt{100} = 10 \text{ м} \)

3. Найдем объем пирамиды:

\[ V = \frac{1}{3} \cdot 108 \text{ м}^2 \cdot 10 \text{ м} = 36 \text{ м}^2 \cdot 10 \text{ м} = 360 \text{ м}^3 \]

Ответ: 360 м³.