21. Из одной точки вне окружности проведены две касательные. Расстояние между точками касания равно 13, а угол между радиусом и хордой, соединяющей точки касания, равен 12°. Найдите длину касательной.

Центр окружности и точки касания образуют равнобедренный треугольник: его боковые стороны — радиусы, а основание — хорда длиной 13. Угол при основании равен 12°, поэтому угол при центре равен \(180°-2\cdot12°=156°\).

Перпендикуляр из центра к хорде делит её пополам, а также делит угол при центре пополам. Получаем прямоугольный треугольник с половиной хорды \(6.5\) и углом при центре \(78°\). Поэтому радиус \(r=\frac{6.5}{\sin 78°}\).

Центр, точка касания и внешняя точка образуют прямоугольный треугольник. Его угол при центре равен \(12°\), следовательно, длина касательной \(t=r\tan 12°=\frac{6.5\tan 12°}{\sin 78°}\approx1.38\).

Ответ: приблизительно 1,38.