Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика
Ответ:
Решение:
Пусть \( v \) — скорость катера в неподвижной воде (км/ч). Скорость течения \( v_t = 4 \) км/ч.
Скорость катера по течению: \( v + v_t = v + 4 \) км/ч.
Скорость катера против течения: \( v - v_t = v - 4 \) км/ч.
Расстояние до пункта назначения — 280 км.
Время в пути по течению: \( t_1 = \frac{280}{v + 4} \) часа.
Время в пути против течения: \( t_2 = \frac{280}{v - 4} \) часа.
Общее время в пути (без учёта стоянки): \( t_{общ} = t_1 + t_2 = \frac{280}{v + 4} + \frac{280}{v - 4} \) часа.
Общее время, затраченное на путешествие, включая стоянку, равно 39 часам. Стоянка длится 15 часов.
Время движения катера: \( 39 - 15 = 24 \) часа.
Составим уравнение:
\[ \frac{280}{v + 4} + \frac{280}{v - 4} = 24 \]Разделим обе части уравнения на 8:
\[ \frac{35}{v + 4} + \frac{35}{v - 4} = 3 \]Приведём к общему знаменателю:
\[ \frac{35(v - 4) + 35(v + 4)}{(v + 4)(v - 4)} = 3 \]Раскроем скобки в числителе:
\[ \frac{35v - 140 + 35v + 140}{v^2 - 16} = 3 \]Упростим числитель:
\[ \frac{70v}{v^2 - 16} = 3 \]Перенесём всё в одну сторону:
\[ 70v = 3(v^2 - 16) \]Раскроем скобки:
\[ 70v = 3v^2 - 48 \]Приведём к стандартному квадратному уравнению:
\[ 3v^2 - 70v - 48 = 0 \]Найдём дискриминант:
\[ D = (-70)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-48) = 4900 + 576 = 5476 \]Найдём \( \sqrt{D} \):
\[ \sqrt{5476} = 74 \]Найдём корни уравнения:
\[ v_1 = \frac{70 + 74}{2 \cdot 3} = \frac{144}{6} = 24 \]\( v_2 = \frac{70 - 74}{2 \cdot 3} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3} \)
Скорость катера не может быть отрицательной, поэтому \( v = 24 \) км/ч.
Проверим условие \( v > 4 \) (скорость катера должна быть больше скорости течения для движения против течения). \( 24 > 4 \), условие выполняется.
Ответ: 24 км/ч.
