22. Постройте график функции y = {x^2+1 при x ≥-1, -4/x при x<-1. Определите, при каких значениях т прямая у = т имеет с графиком ровно одну общую точку.

Question

Вопрос: $Фото задания: 22. Постройте график функции y = {x^2+1 при x ≥-1, -4/x при x<-1. Определите, при каких значениях т прямая у = т имеет с…$ Фото задания

22. Постройте график функции y = {x^2+1 при x ≥-1, -4/x при x<-1. Определите, при каких значениях т прямая у = т имеет с графиком ровно одну общую точку.

Accepted Answer

Решение:

График функции состоит из двух частей:

1. $ y = x^2 + 1 $ при $ x \ge -1 $. Это часть параболы с вершиной в точке $ (-1; 0) $ (так как $ (-1)^2 + 1 = 1 + 1 = 2 $, то точка $ (-1; 2) $ является началом графика правой части).

2. $ y = -\frac{4}{x} $ при $ x < -1 $. Это часть гиперболы.

Построим график:

Теперь определим, при каких значениях $ m $ прямая $ y = m $ имеет с графиком ровно одну общую точку.

Рассмотрим правую часть графика $ y = x^2 + 1 $ при $ x \ge -1 $. Вершина параболы находится в точке $ (-1; 2) $. При $ x = -1 $, $ y = (-1)^2 + 1 = 2 $. Эта часть графика начинается в точке $ (-1; 2) $ и идёт вверх. Прямая $ y = m $ будет иметь одну общую точку с этой частью, если $ m \ge 2 $.

Рассмотрим левую часть графика $ y = -\frac{4}{x} $ при $ x < -1 $. Это часть гиперболы. При $ x = -1 $, $ y = -\frac{4}{-1} = 4 $. При $ x \to -\infty $, $ y \to 0 $. Значит, значения $ y $ лежат в интервале $ (0; 4) $.

Анализируем точки пересечения:

1. Если $ m $ меньше значения $ y $ в точке $ x = -1 $ правой части (т.е. $ m < 2 $), и $ m $ не попадает в диапазон значений левой части $ (0; 4) $, то общих точек нет.

2. Если $ m = 2 $, то одна точка пересечения с правой частью графика (точка $ (-1; 2) $). С левой частью пересечений нет.

3. Если $ 0 < m < 2 $, то общих точек нет (одна точка пересечения с левой частью, и нет с правой).

4. Если $ m = 4 $, то прямая $ y = 4 $ пересекает правую часть графика ( $ x^2 + 1 = 4 $ → $ x^2 = 3 $ → $ x = \sqrt{3} $ при $ x \ge -1 $) и левую часть графика ( $ -\frac{4}{x} = 4 $ → $ x = -1 $, но это точка не входит в область $ x < -1 $, поэтому касание будет близко к $ x=-1 $ но не в $ x=-1 $).

5. Если $ m > 4 $, то одна точка пересечения с правой частью графика.

6. Если $ m < 0 $ или $ m = 0 $, то одна точка пересечения с левой частью графика ( $ y = -\frac{4}{x} $ → $ x = -\frac{4}{m} $, и $ x < -1 $).

Чтобы получить ровно одну общую точку, нужно рассмотреть случаи:

$ m < 0 $ (прямая ниже оси Ox, пересекает только левую часть гиперболы).
$ m = 2 $ (прямая проходит через начало правой части графика $ y = x^2 + 1 $ при $ x = -1 $, не пересекая гиперболу).
$ m > 4 $ (прямая выше верхней точки пересечения правой части графика и пересекает только правую часть параболы).

Ответ: m < 0, m = 2, m > 4.