23. Отрезки AB и CD являются хордами окружности. Найдите длину хорды CD, если AB = 12, а расстояния от центра окружности до хорд AB и CD равны соответственно 8 и 6.

Решение:

Пусть \( O \) — центр окружности, \( R \) — радиус окружности.

Расстояние от центра до хорды перпендикулярно хорде и делит её пополам.

Для хорды \( AB \):

Дан \( AB = 12 \), расстояние от \( O \) до \( AB \) равно 8. Пусть \( M \) — середина \( AB \). Тогда \( AM = MB = \frac{12}{2} = 6 \).

В прямоугольном треугольнике \( OMA \) (где \( OM = 8 \) и \( AM = 6 \)) найдём радиус \( R \) по теореме Пифагора:

\[ R^2 = OM^2 + AM^2 \]

\[ R^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100 \]

\[ R = \sqrt{100} = 10 \]

Радиус окружности равен 10.

Для хорды \( CD \):

Дан \( CD = ? \), расстояние от \( O \) до \( CD \) равно 6. Пусть \( N \) — середина \( CD \). Тогда \( CN = ND = \frac{CD}{2} \).

В прямоугольном треугольнике \( ONC \) (где \( ON = 6 \) и \( R = 10 \)) найдём \( CN \) по теореме Пифагора:

\[ R^2 = ON^2 + CN^2 \]

\[ 10^2 = 6^2 + CN^2 \]

\[ 100 = 36 + CN^2 \]

\[ CN^2 = 100 - 36 = 64 \]

\[ CN = \sqrt{64} = 8 \]

Длина хорды \( CD \) равна \( 2 \cdot CN \):

\[ CD = 2 \cdot 8 = 16 \]

Ответ: 16.