21. Постройте график функции y = x² + 6x + 7 при x ≥ −4; y = x + 4 при x < −4 и определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки.

При x < −4 график — луч прямой y = x + 4 с выколотой точкой (−4; 0). При x ≥ −4 график — часть параболы y = (x + 3)² − 2; её вершина (−3; −2), а точка при x = −4 — (−4; −1).

Для параболы решаем (x + 3)² − 2 = m с учётом x ≥ −4. При −2 < m ≤ −1 прямая y = m пересекает эту часть параболы в двух точках; при m = −2 или m > −1 — в одной; при m < −2 — ни в одной.

Для луча y = x + 4 при x < −4 пересечение есть ровно при m < 0, и тогда оно одно. Складываем количества пересечений ветвей: при m = −2 получается две точки; при −1 < m < 0 — также две точки. При −2 < m ≤ −1 и m < 0 всего три точки.

Ответ: m = −2 или −1 < m < 0.