24. Биссектрисы углов N и O параллелограмма NOSE пересекаются в точке A. Найдите площадь параллелограмма, если OS = 8, а расстояние от точки A до стороны NO равно 5.

Обозначим через \(b=NO\) длину основания, а через \(\varphi\) — угол между сторонами \(NO\) и \(NE\). Так как противоположные стороны параллелограмма равны, \(NE=OS=8\), и его высота к основанию \(NO\) равна \(8\sin\varphi\).

Рассмотрим биссектрисы углов при \(N\) и \(O\). Если расположить \(NO\) горизонтально, биссектриса при \(N\) образует с ним угол \(\varphi/2\), а биссектриса при \(O\) направлена под углом \(90^\circ+\varphi/2\). Их пересечение имеет высоту над \(NO\), равную \(\frac b2\sin\varphi\). Эта высота — заданное расстояние от \(A\) до \(NO\), то есть \(\frac b2\sin\varphi=5\).

Площадь параллелограмма:

\(S=b\cdot 8\sin\varphi=16\cdot\frac b2\sin\varphi=16\cdot5=80.\)

Ответ: 80.