21. Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 165 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если скорость течения равна 4 км/ч, стоянка длится 5 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 18 часов после отплытия из него.

Решение:

Пусть \( v \) — скорость теплохода в неподвижной воде (км/ч).

Скорость теплохода по течению: \( v + 4 \) км/ч.

Скорость теплохода против течения: \( v - 4 \) км/ч.

Время движения по течению: \( t_1 = \frac{165}{v + 4} \) часов.

Время движения против течения: \( t_2 = \frac{165}{v - 4} \) часов.

Общее время в пути составляет 18 часов, из которых 5 часов — стоянка. Значит, время движения равно \( 18 - 5 = 13 \) часов.

Составим уравнение:

\( t_1 + t_2 = 13 \)

\( \frac{165}{v + 4} + \frac{165}{v - 4} = 13 \)

Умножим обе части уравнения на \( (v + 4)(v - 4) = v^2 - 16 \) (при условии \( v > 4 \), так как теплоход движется против течения):

\( 165(v - 4) + 165(v + 4) = 13(v^2 - 16) \)

\( 165v - 660 + 165v + 660 = 13v^2 - 208 \)

\( 330v = 13v^2 - 208 \)

\( 13v^2 - 330v - 208 = 0 \)

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

\( D = (-330)^2 - 4 \cdot 13 \cdot (-208) = 108900 + 10816 = 119716 \)

\( √{D} = √{119716} = 346 \)

\( v_1 = \frac{330 + 346}{2 \cdot 13} = \frac{676}{26} = 26 \)

\( v_2 = \frac{330 - 346}{2 \cdot 13} = \frac{-16}{26} = -\frac{8}{13} \)

Так как скорость не может быть отрицательной, отбрасываем \( v_2 \). Скорость теплохода в неподвижной воде должна быть больше скорости течения, \( 26 > 4 \), что удовлетворяет условию.

Ответ: 26 км/ч.