22. Постройте график функции y = (x²+7x+12)(x²-x-2) / (x²+5x+4) и определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно одну общую точку.

Решение:

Упростим выражение функции, разложив числитель и знаменатель на множители:

1. Числитель: \( (x^2 + 7x + 12)(x^2 - x - 2) \)
• \( x^2 + 7x + 12 \): корни \( -3 \) и \( -4 \). \( (x + 3)(x + 4) \)
• \( x^2 - x - 2 \): корни \( 2 \) и \( -1 \). \( (x - 2)(x + 1) \)
2. Знаменатель: \( x^2 + 5x + 4 \)
• Корни \( -1 \) и \( -4 \). \( (x + 1)(x + 4) \)

Таким образом, функция принимает вид:

\( y = \frac{(x + 3)(x + 4)(x - 2)(x + 1)}{(x + 1)(x + 4)} \)

При \( x ≠ -1 \) и \( x ≠ -4 \) функция упрощается до:

\( y = (x + 3)(x - 2) \)

Раскроем скобки: \( y = x^2 - 2x + 3x - 6 = x^2 + x - 6 \).

Это парабола с вершиной в точке \( x_в = \frac{-b}{2a} = \frac{-1}{2 \cdot 1} = -0.5 \).

Значение \( y \) в вершине: \( y_в = (-0.5)^2 + (-0.5) - 6 = 0.25 - 0.5 - 6 = -6.25 \).

График функции — это парабола \( y = x^2 + x - 6 \) с выколотыми точками при \( x = -1 \) и \( x = -4 \).

Найдем значения \( y \) в выколотых точках:

• При \( x = -1 \): \( y = (-1)^2 + (-1) - 6 = 1 - 1 - 6 = -6 \). Выколотая точка \( (-1, -6) \).
• При \( x = -4 \): \( y = (-4)^2 + (-4) - 6 = 16 - 4 - 6 = 6 \). Выколотая точка \( (-4, 6) \).

Теперь определим, при каких значениях \( m \) прямая \( y = m \) имеет с графиком ровно одну общую точку.

1. Прямая \( y = m \) является горизонтальной линией.
2. График функции — парабола с выколотыми точками.
3. Вершина параболы находится в точке \( (-0.5, -6.25) \).

Прямая \( y = m \) будет иметь ровно одну общую точку с графиком в следующих случаях:

• Если \( y = m \) проходит через вершину параболы, но одна из выколотых точек не лежит на этой прямой. Вершина параболы имеет \( y \)-координату \( -6.25 \).
• Если \( y = m \) совпадает с \( y \)-координатой одной из выколотых точек.

Рассмотрим значения \( m \):

• \( m = -6.25 \) (координата вершины). В этом случае прямая \( y = -6.25 \) имеет одну общую точку с графиком (вершину).
• \( m = -6 \) ( \( y \)-координата выколотой точки \( (-1, -6) \)). Прямая \( y = -6 \) пересекает параболу в двух точках: \( (-1, -6) \) (выколотой) и \( (-2, -6) \). Таким образом, одна общая точка — \( (-2, -6) \).
• \( m = 6 \) ( \( y \)-координата выколотой точки \( (-4, 6) \)). Прямая \( y = 6 \) пересекает параболу в двух точках: \( (-4, 6) \) (выколотой) и \( (3, 6) \). Таким образом, одна общая точка — \( (3, 6) \).

Таким образом, прямая \( y = m \) будет иметь ровно одну общую точку с графиком, когда \( m \) равно \( -6.25 \), \( -6 \) или \( 6 \).

Ответ: \( m = -6.25 \), \( m = -6 \), \( m = 6 \).