20. Решите неравенство (x²-2x-15) (x²-7x+10) ≤ 0.

Пошаговое решение:

1. Разложим первый квадратный трехчлен \( x^2 - 2x - 15 \) на множители. Найдем корни уравнения \( x^2 - 2x - 15 = 0 \) с помощью дискриминанта: \( D = (-2)^2 - 4(1)(-15) = 4 + 60 = 64 \). \( x_{1,2} = \frac{2 \pm \sqrt{64}}{2} = \frac{2 \pm 8}{2} \). Корни: \( x_1 = \frac{2+8}{2} = 5 \) и \( x_2 = \frac{2-8}{2} = -3 \). Таким образом, \( x^2 - 2x - 15 = (x - 5)(x + 3) \).
2. Разложим второй квадратный трехчлен \( x^2 - 7x + 10 \) на множители. Найдем корни уравнения \( x^2 - 7x + 10 = 0 \) с помощью дискриминанта: \( D = (-7)^2 - 4(1)(10) = 49 - 40 = 9 \). \( x_{1,2} = \frac{7 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{7 \pm 3}{2} \). Корни: \( x_1 = \frac{7+3}{2} = 5 \) и \( x_2 = \frac{7-3}{2} = 2 \). Таким образом, \( x^2 - 7x + 10 = (x - 5)(x - 2) \).
3. Подставим разложенные трехчлены в исходное неравенство: \( (x - 5)(x + 3)(x - 5)(x - 2) \leq 0 \).
4. Упростим выражение: \( (x - 5)^2 (x + 3)(x - 2) \leq 0 \).
5. Найдем корни уравнения \( (x - 5)^2 (x + 3)(x - 2) = 0 \). Корни: \( x = 5 \) (кратность 2), \( x = -3 \) (кратность 1), \( x = 2 \) (кратность 1).
6. Отметим корни на числовой оси: -3, 2, 5.
7. Применим метод интервалов. Так как множитель \( (x - 5)^2 \) всегда неотрицателен, он не меняет знак всего выражения.
8. Рассмотрим интервалы:
   • При \( x < -3 \) (например, \( x = -4 \)): \( (-4 - 5)^2 (-4 + 3)(-4 - 2) = (-9)^2 (-1)(-6) = 81   = 81 > 0 \).
   • При \( -3 < x < 2 \) (например, \( x = 0 \)): \( (0 - 5)^2 (0 + 3)(0 - 2) = (-5)^2 (3)(-2) = 25   = -75 < 0 \).
   • При \( 2 < x < 5 \) (например, \( x = 3 \)): \( (3 - 5)^2 (3 + 3)(3 - 2) = (-2)^2 (6)(1) = 4   = 24 > 0 \).
   • При \( x > 5 \) (например, \( x = 6 \)): \( (6 - 5)^2 (6 + 3)(6 - 2) = (1)^2 (9)(4) = 1   = 36 > 0 \).
9. Неравенство \( (x - 5)^2 (x + 3)(x - 2) \leq 0 \) выполняется, когда выражение отрицательно или равно нулю.
10. Выражение равно нулю при \( x = -3, x = 2, x = 5 \).
11. Выражение отрицательно на интервале \( (-3; 2) \).
12. Объединяя условия, получаем \( x \in [-3; 2] \cup \{5\} \).

Ответ: \( [-3; 2] \cup \{5\} \)