20. Решите неравенство (x²-2x-15)(x²-7x+10) ≤ 0.

Решение:

Разложим квадратные трёхчлены на множители:

1. Первый трёхчлен: \( x^2 - 2x - 15 \). Корни найдём по теореме Виета: \( x_1 + x_2 = 2 \) и \( x_1 \cdot x_2 = -15 \). Корни: \( 5 \) и \( -3 \). Тогда \( x^2 - 2x - 15 = (x - 5)(x + 3) \).
2. Второй трёхчлен: \( x^2 - 7x + 10 \). Корни найдём по теореме Виета: \( x_1 + x_2 = 7 \) и \( x_1 \cdot x_2 = 10 \). Корни: \( 5 \) и \( 2 \). Тогда \( x^2 - 7x + 10 = (x - 5)(x - 2) \).

Неравенство принимает вид: \( (x - 5)(x + 3)(x - 5)(x - 2) \le 0 \), или \( (x - 5)^2 (x + 3)(x - 2) \le 0 \).

Рассмотрим знаки множителей на числовой прямой. Множитель \( (x - 5)^2 \) всегда неотрицателен. Поэтому знак всего выражения определяется знаком произведения \( (x + 3)(x - 2) \), при условии, что \( x ≠ 5 \).

Решим неравенство \( (x + 3)(x - 2) \le 0 \). Корни: \( -3 \) и \( 2 \). Парабола \( y = (x + 3)(x - 2) \) ветвями вверх, значит, неположительные значения принимаются на промежутке \( [-3; 2] \).

Учитывая, что \( x ≠ 5 \), и область \( [-3; 2] \) не содержит \( 5 \), получаем:

\( x ∈ [-3; 2] \).

Однако, нужно учесть случай, когда \( (x - 5)^2 = 0 \), то есть \( x = 5 \). Если \( x = 5 \), то левая часть неравенства равна \( 0 \), что удовлетворяет условию \( \le 0 \).

Таким образом, решением являются все \( x \) из отрезка \( [-3; 2] \) и точка \( x = 5 \).

Объединяя эти множества, получаем \( x ∈ [-3; 2] \cup {5} \).

Ответ: \( x ∈ [-3; 2] \cup {5} \).