21. Упростите выражение: 1) (x − 4)/(x − 2) − x/(2 − x); 2) (5x + 6)/(5 − x) + (3x + 16)/(x − 5); 3) (2a − 1)²/(6a − 6) + (a − 2)²/(6 − 6a); 4) (16 − 7x)/(x⁴ − 4x²) − (x − x²)/(14 − 4x²).

Question

Вопрос:

Accepted Answer

Так как \(2-x=-(x-2)\), получаем \(\frac{x-4}{x-2}-\frac{x}{2-x}=\frac{x-4}{x-2}+\frac{x}{x-2}=\frac{2x-4}{x-2}=2\). Ограничение: \(x\ne2\).
Поскольку \(5-x=-(x-5)\), \(\frac{5x+6}{5-x}+\frac{3x+16}{x-5}=-\frac{5x+6}{x-5}+\frac{3x+16}{x-5}=\frac{10-2x}{x-5}=-2\). Ограничение: \(x\ne5\).
\(6a-6=6(a-1)\), а \(6-6a=-6(a-1)\). Поэтому \(\frac{(2a-1)^2}{6(a-1)}-\frac{(a-2)^2}{6(a-1)}=\frac{(2a-1)^2-(a-2)^2}{6(a-1)}\). Разность квадратов: \(\frac{((2a-1)-(a-2))((2a-1)+(a-2))}{6(a-1)}=\frac{(a+1)(3a-3)}{6(a-1)}=\frac{a+1}{2}\). Ограничение: \(a\ne1\).
Выражение распознано как \(\frac{16-7x}{x^4-4x^2}-\frac{x-x^2}{14-4x^2}\). Знаменатель второй дроби именно \(14-4x^2\). Общий знаменатель равен \(x^2(x^2-4)(14-4x^2)\), и упрощение возможно, но исходное выражение оставляет многочленный результат без очевидного сокращения. Приводим к общему знаменателю: \(\frac{(16-7x)(14-4x^2)-x^2(x^2-4)(x-x^2)}{x^2(x^2-4)(14-4x^2)}\). Ограничения: \(x\ne0,\,\pm2\), \(x\ne\pm\sqrt{7/2}\).

Ответ: 1) 2; 2) −2; 3) (a + 1)/2; 4) выражение приведено к общей дроби.