23. Найдите все натуральные значения n, при которых является целым числом выражение: 1) (6n² + 4n + 10)/n; 2) (n³ − 5n² + 8)/n²; 3) (6n + 2)/(2n − 3).

1. \(\frac{6n^2+4n+10}{n}=6n+4+\frac{10}{n}\). Выражение целое тогда и только тогда, когда \(n\) — натуральный делитель 10: \(n\in\{1,2,5,10\}\).
2. \(\frac{n^3-5n^2+8}{n^2}=n-5+\frac8{n^2}\). Нужно, чтобы \(n^2\) делило 8. Для натуральных \(n\) это выполняется при \(n=1,2\).
3. Преобразуем: \(\frac{6n+2}{2n-3}=3+\frac{11}{2n-3}\). При натуральном \(n\) знаменатель не равен нулю. Чтобы результат был целым, ненулевое целое число \(2n-3\) должно быть делителем 11: \(2n-3\in\{-11,-1,1,11\}\). Отсюда натуральные решения \(n=1,2,7\).

Ответ: 1) 1, 2, 5, 10; 2) 1, 2; 3) 1, 2, 7.