21. В электропечи полностью расплавили слиток стали массой 1 т за 2,3 ч. Какова мощность электропечи, если известно, что до начала плавления сталь необходимо было нагреть на 1500 °С? Потерями энергии пренебречь.

Дано:

\( m_{стали} = 1 \text{ т} = 1000 \text{ кг} \)

\( t = 2,3 \text{ ч} = 2,3 · 3600 \text{ с} = 8280 \text{ с} \)

\( µ = 1500 \text{ °С} \) (температурный перепад до плавления)

\( c_{стали} = 500 \text{ Дж/(кг} · \text{°С)} \)

\( λ_{стали} = 80 · 10^3 \text{ Дж/кг} \)

Найти: \( P \)

Решение:

Работа, совершаемая электропечью, идет на нагревание стали до температуры плавления и на само плавление.

1. Найдем количество теплоты, необходимое для нагревания стали до температуры плавления:

\[ Q_{нагр} = c_{стали} · m_{стали} · µ \] \[ Q_{нагр} = 500 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} · \text{°С}} · 1000 \text{ кг} · 1500 \text{ °С} = 750 · 10^6 \text{ Дж} \]

Найдем количество теплоты, необходимое для плавления стали. Для этого нужно знать температуру плавления стали. Примем её равной \( T_{пл} \approx 1500 \text{ °С} \).

• Примечание: В условии задачи не указана начальная температура плавления стали, но указано, что её нужно нагреть на 1500 °С. Если принять, что начальная температура была 0 °С, то температура плавления составит 1500 °С.

Тогда теплота плавления:

\[ Q_{пл} = λ_{стали} · m_{стали} \] \[ Q_{пл} = 80 · 10^3 \frac{\text{Дж}}{\text{кг}} · 1000 \text{ кг} = 80 · 10^6 \text{ Дж} \]

Общее количество теплоты, затраченное на нагревание и плавление:

\[ Q_{общ} = Q_{нагр} + Q_{пл} \] \[ Q_{общ} = 750 · 10^6 \text{ Дж} + 80 · 10^6 \text{ Дж} = 830 · 10^6 \text{ Дж} \]

Мощность электропечи равна работе, деленной на время:

\[ P = \frac{Q_{общ}}{t} \] \[ P = \frac{830 · 10^6 \text{ Дж}}{8280 \text{ с}} · 10^{-3} \text{ кВт/Вт} \] \[ P ± 100.24 · 10^3 \text{ Вт} ± 100.24 \text{ кВт} \]