21. В угол С величиной 157° вписана окружность, которая касается сторон угла в точках А и В, точка О — центр окружности. Найдите угол АОВ. Ответ дайте в градусах.

Разбор задачи:

У нас есть угол С, и в него вписана окружность. Эта окружность касается сторон угла (то есть лучей, исходящих из С) в точках А и В. Точка О — центр окружности.

Ключевой факт: Отрезки касательных, проведенные из одной точки к окружности, равны. Также, радиусы, проведенные в точки касания, перпендикулярны касательным. В данном случае, ОА и ОВ — радиусы, а СА и СВ — отрезки касательных.

Решение:

1. Рассмотрим четырехугольник САОВ. Сумма углов в любом четырехугольнике равна 360°.
2. Угол САО = 90° (радиус перпендикулярен касательной).
3. Угол СВО = 90° (радиус перпендикулярен касательной).
4. Угол С = 157° (дано по условию).
5. Угол АОВ = 360° - угол САО - угол СВО - угол С.
6. Угол АОВ = 360° - 90° - 90° - 157° = 360° - 337° = 23°.

Ответ: 23