23. АС и BD — диаметры окружности с центром О. Угол АСВ равен 36°. Найдите угол AOD. Ответ дайте в градусах.

Разбор задачи:

У нас есть окружность с центром О. АС и BD — диаметры. Это значит, что они проходят через центр О и делят окружность пополам. Нам дан угол АСВ, и нужно найти угол AOD.

Ключевые факты:

• Углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.
• Вертикальные углы равны.
• Угол, вписанный в окружность, равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.
• Диаметр делит окружность на две полу окружности.

Решение:

1. Угол АСВ является вписанным углом, опирающимся на дугу АВ.
2. Центральный угол, опирающийся на ту же дугу АВ, — это угол АОВ.
3. Угол АОВ = 2 * Угол АСВ = 2 * 36° = 72°.
4. Углы AOD и BOC являются вертикальными углами (так как AC и BD — прямые, пересекающиеся в точке О). Значит, Угол AOD = Угол BOC.
5. Углы AOB и BOC являются смежными, так как лежат на диаметре АС. Сумма смежных углов равна 180°.
6. Угол BOC = 180° - Угол AOB = 180° - 72° = 108°.
7. Так как Угол AOD = Угол BOC, то Угол AOD = 108°.

Ответ: 108