21. Вычислить, при каких значениях x производная функции f(x) принимает положительные значения: f(x) = (x − 14)^3√x.

Область определения функции: \(x\geqslant0\). Для \(x>0\) применим правило произведения:

\(f'(x)=3(x-14)^2\sqrt{x}+\dfrac{(x-14)^3}{2\sqrt{x}}\).

Вынесем общий множитель:

\(f'(x)=\dfrac{(x-14)^2}{2\sqrt{x}}\bigl(6x+x-14\bigr)=\dfrac{7(x-14)^2(x-2)}{2\sqrt{x}}\).

При \(x>0\) множитель \(\dfrac{7(x-14)^2}{2\sqrt{x}}\) неотрицателен и положителен, кроме \(x=14\). Поэтому знак производной определяется множителем \(x-2\).

Производная положительна при \(x>2\). Точка \(x=14\) производную в положительную область не исключает, поскольку знак производной меняется только в ноль в одной точке; однако строгое условие \(f'(x)>0\) исключает её.

Ответ: \(x\in(2;14)\cup(14;+\infty)\).