23. Вычислить, при каких значениях x производная функции f(x) принимает отрицательные значения: f(x) = 2x/(x^2 + 1).

Применим правило дифференцирования частного:

\(f'(x)=\dfrac{2(x^2+1)-2x\cdot2x}{(x^2+1)^2}\).

Упростим:

\(f'(x)=\dfrac{2x^2+2-4x^2}{(x^2+1)^2}=\dfrac{2(1-x^2)}{(x^2+1)^2}\).

Знаменатель всегда положителен, поэтому производная отрицательна, когда \(1-x^2<0\):

\(x^2>1\), то есть \(x<-1\) или \(x>1\).

Ответ: \(x\in(-\infty;-1)\cup(1;+\infty)\).