2130. Периметр прямоугольной трапеции, описанной около окружности, равен 100, её большая боковая сторона равна 35. Найдите радиус окружности.

Решение:

Для прямоугольной трапеции, описанной около окружности, сумма оснований равна сумме боковых сторон. Кроме того, так как трапеция прямоугольная, боковая сторона, перпендикулярная основаниям, равна диаметру вписанной окружности (равна удвоенному радиусу).

Пусть основания трапеции равны \(a\) и \(b\), а боковые стороны \(c\) и \(d\). По условию, \(a+b = c+d\) и \(d = 2r\), где \(r\) — радиус окружности.

Периметр \( P = a+b+c+d = 100 \). Большая боковая сторона \( c = 35 \).

Так как трапеция прямоугольная, одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям, и эта сторона равна диаметру окружности, то есть \( d = 2r \). Другая боковая сторона — это гипотенуза, образованная высотой (равной \(d\)) и разностью оснований \(|a-b|\).

Сумма оснований равна сумме боковых сторон: \( a+b = c+d \).

Периметр: \( P = (a+b) + (c+d) = 2(a+b) = 100 \) или \( P = 2(c+d) = 100 \).

Из \( 2(c+d) = 100 \), следует \( c+d = 50 \).

Подставим известные значения: \( 35 + d = 50 \), откуда \( d = 50 - 35 = 15 \).

Боковая сторона \( d \) — это диаметр окружности, так как она перпендикулярна основаниям. Значит, \( d = 2r \).

\( 15 = 2r \), поэтому \( r = \frac{15}{2} = 7.5 \).

Ответ: 7.5