2136. Периметр четырёхугольника, описанного около окружности, равен 26, две его стороны равны 5 и 9. Найдите большую из оставшихся сторон.

Решение:

Для четырёхугольника, описанного около окружности, сумма противоположных сторон равна.

Пусть стороны четырёхугольника равны \(a, b, c, d\). По условию, \(a+b+c+d = 26\).

Также выполняется свойство: \(a+c = b+d\).

Периметр \( P = (a+c) + (b+d) = 2(a+c) = 26 \) или \( P = 2(b+d) = 26 \).

Из этого следует, что сумма противоположных сторон равна \( 26 / 2 = 13 \).

По условию, две стороны равны 5 и 9. Возможны два случая:

1. Случай 1: Данные стороны являются противоположными. Например, \( a = 5 \) и \( c = 9 \). Тогда их сумма \( a+c = 5+9 = 14 \). Но мы знаем, что сумма противоположных сторон должна быть равна 13. Этот случай невозможен.
2. Случай 2: Данные стороны являются смежными. Пусть \( a = 5 \) и \( b = 9 \).

Мы знаем, что \( a+c = 13 \) и \( b+d = 13 \).

Найдем оставшиеся стороны:

• \( 5 + c = 13 \) => \( c = 13 - 5 = 8 \).
• \( 9 + d = 13 \) => \( d = 13 - 9 = 4 \).

Таким образом, стороны четырёхугольника равны 5, 9, 8, 4.

Две известные стороны: 5 и 9.

Две оставшиеся стороны: 8 и 4.

Нам нужно найти большую из оставшихся сторон. Сравниваем 8 и 4. Большая из них — 8.

Ответ: 8