2131. Периметр прямоугольной трапеции, описанной около окружности, равен 100, её большая боковая сторона равна 34. Найдите радиус окружности.

Решение:

Для прямоугольной трапеции, описанной около окружности, сумма оснований равна сумме боковых сторон. Большая боковая сторона равна 34, периметр равен 100.

Периметр \( P = a+b+c+d = 100 \), где \(a\) и \(b\) — основания, \(c\) и \(d\) — боковые стороны.

Так как трапеция прямоугольная, одна из боковых сторон равна диаметру вписанной окружности, т.е. \( d = 2r \). Пусть \(c\) — большая боковая сторона.

Для описанной трапеции верно свойство: \( a+b = c+d \).

Периметр \( P = (a+b) + (c+d) = 2(c+d) = 100 \).

Значит, \( c+d = 50 \).

По условию, \( c = 34 \).

Подставим: \( 34 + d = 50 \), откуда \( d = 50 - 34 = 16 \).

Боковая сторона \( d \) перпендикулярна основаниям и равна диаметру окружности. Следовательно, \( d = 2r \).

\( 16 = 2r \), поэтому \( r = \frac{16}{2} = 8 \).

Ответ: 8