215. Докажите, что при любом значении x квадратный трёхчлен принимает положительные значения: а) x² − 18x + 101; б) 3x² − 12x + 33.

1. а) Выделим полный квадрат:

   \(x^2-18x+101=(x-9)^2+20.\)

   Так как квадрат неотрицателен, \((x-9)^2+20\ge 20>0\) при любом x.

2. б) Выделим полный квадрат:

   \(3x^2-12x+33=3(x^2-4x+11)=3((x-2)^2+7).\)

   Поскольку \((x-2)^2\ge 0\), имеем \(3((x-2)^2+7)\ge 21>0\) при любом x.

Ответ: оба трёхчлена положительны при всех действительных x.