215 Стрелок в тире стреляет по мишени до тех пор, пока не попадёт в неё. Вероятность попадания при каждом отдельном выстреле равна p = 0,6. Найдите вероятность того, что стрелку потребуется: a) ровно 5 попыток; б) от 2 до 4 попыток.

Задание 215. Стрелок в тире

Это задача на геометрическое распределение. Вероятность попадания \( p = 0.6 \), вероятность промаха \( q = 1 - p = 1 - 0.6 = 0.4 \).

а) Вероятность того, что стрелку потребуется ровно 5 попыток.

Это означает, что первые 4 выстрела будут промахами, а 5-й выстрел — попаданием.

Формула для геометрического распределения: \( P(X=k) = q^{k-1} \cdot p \), где \( k \) — количество попыток.

В нашем случае \( k=5 \).

\( P(X=5) = (0.4)^{5-1} \cdot 0.6 = (0.4)^4 \cdot 0.6 \)

\( (0.4)^4 = 0.4 \cdot 0.4 \cdot 0.4 \cdot 0.4 = 0.0256 \)

\( P(X=5) = 0.0256 \cdot 0.6 = 0.01536 \)

Ответ: Вероятность того, что стрелку потребуется ровно 5 попыток, равна 0.01536.

б) Вероятность того, что стрелку потребуется от 2 до 4 попыток.

Это означает, что стрелку потребуется 2, 3 или 4 попытки. Нам нужно сложить вероятности для каждого из этих случаев:

\( P(2 \le X \le 4) = P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) \)

Рассчитаем каждую вероятность:

\( P(X=2) = q^{2-1} \cdot p = (0.4)^1 \cdot 0.6 = 0.4 \cdot 0.6 = 0.24 \)

\( P(X=3) = q^{3-1} \cdot p = (0.4)^2 \cdot 0.6 = 0.16 \cdot 0.6 = 0.096 \)

\( P(X=4) = q^{4-1} \cdot p = (0.4)^3 \cdot 0.6 = 0.064 \cdot 0.6 = 0.0384 \)

Теперь сложим эти вероятности:

\( P(2 \le X \le 4) = 0.24 + 0.096 + 0.0384 = 0.3744 \)

Ответ: Вероятность того, что стрелку потребуется от 2 до 4 попыток, равна 0.3744.