216 Производятся последовательные одинаковые и независимые испытания до тех пор, пока не наступит успех. В каждом отдельном испытании вероятность успеха равна p, а вероятность неудачи равна q = 1 – p. Найдите вероятность события (выразите её через р и q), заключающегося в том, что: а) «успех случится при втором испытании»; б) «успех случится позже четвёртого испытания»; в) «успех случится не позже шестого испытания»; г) для достижения успеха потребуется от трёх до пяти испытаний».

Задание 216

У нас есть последовательность независимых испытаний с вероятностью успеха p и вероятностью неудачи q = 1 – p. Испытания продолжаются до первого успеха.

а) «успех случится при втором испытании»

Это означает, что первое испытание было неудачным (с вероятностью q), а второе — успешным (с вероятностью p). Так как испытания независимы, вероятности перемножаются.

Решение:

1. Вероятность неудачи в первом испытании: q
2. Вероятность успеха во втором испытании: p
3. Вероятность события: \( P(\text{успех на втором}) = q \cdot p \)

Ответ: \( qp \)

б) «успех случится позже четвёртого испытания»

Это означает, что первые четыре испытания были неудачными (каждое с вероятностью q), а успех наступит на пятом или более позднем испытании. Чтобы рассчитать вероятность того, что успех случится позже четвертого испытания, нам нужно найти вероятность того, что первые четыре испытания были неудачными.

Решение:

1. Вероятность неудачи в первом испытании: q
2. Вероятность неудачи во втором испытании: q
3. Вероятность неудачи в третьем испытании: q
4. Вероятность неудачи в четвертом испытании: q
5. Вероятность того, что первые четыре испытания неудачные: \( q \cdot q \cdot q \cdot q = q^4 \)
6. Если первые четыре испытания неудачны, то успех точно случится позже четвертого испытания (на пятом, шестом и т.д.).

Ответ: \( q^4 \)

в) «успех случится не позже шестого испытания»

Событие «успех случится не позже шестого испытания» означает, что успех произойдет на первом, втором, третьем, четвертом, пятом или шестом испытании. Проще всего найти вероятность противоположного события: «успех случится позже шестого испытания». Это значит, что первые шесть испытаний были неудачными.

Решение:

1. Вероятность неудачи в первых шести испытаниях: \( q^6 \)
2. Это вероятность того, что успех случится позже шестого испытания.
3. Вероятность того, что успех случится не позже шестого испытания, равна 1 минус вероятность того, что он случится позже шестого:
4. \( P(\text{успех не позже 6-го}) = 1 - P(\text{успех позже 6-го}) = 1 - q^6 \)

Ответ: \( 1 - q^6 \)

г) «для достижения успеха потребуется от трёх до пяти испытаний»

Это означает, что успех случится на третьем, четвертом или пятом испытании.

Разберем каждый случай:

• Успех на третьем испытании: Первые два испытания — неудачи (qq), третье — успех (p). Вероятность: \( q^2 p \)
• Успех на четвертом испытании: Первые три испытания — неудачи (qqq), четвертое — успех (p). Вероятность: \( q^3 p \)
• Успех на пятом испытании: Первые четыре испытания — неудачи (qqqq), пятое — успех (p). Вероятность: \( q^4 p \)

Так как эти события (успех на 3-м, 4-м, 5-м испытании) несовместны, их вероятности складываются.

Решение:

1. Вероятность успеха на третьем испытании: \( q^2 p \)
2. Вероятность успеха на четвертом испытании: \( q^3 p \)
3. Вероятность успеха на пятом испытании: \( q^4 p \)
4. Общая вероятность: \( q^2 p + q^3 p + q^4 p \)
5. Можно вынести общий множитель: \( q^2 p (1 + q + q^2) \)

Ответ: \( q^2 p + q^3 p + q^4 p \) или \( q^2 p (1 + q + q^2) \)