22) (3 балла) Решите уравнение 3sin²x + cos²x - 2 = 0

Решение:

Для решения уравнения воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \).

Из него следует, что \( \cos^2 x = 1 - \sin^2 x \).

Подставим это в исходное уравнение:

\( 3\sin^2 x + (1 - \sin^2 x) - 2 = 0 \).

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

\( 3\sin^2 x + 1 - \sin^2 x - 2 = 0 \).

\( (3\sin^2 x - \sin^2 x) + (1 - 2) = 0 \).

\( 2\sin^2 x - 1 = 0 \).

Теперь выразим \( \sin^2 x \):

\( 2\sin^2 x = 1 \).

\( \sin^2 x = \frac{1}{2} \).

Извлечём квадратный корень из обеих частей:

\( \sin x = \pm \sqrt{\frac{1}{2}} \).

\( \sin x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \).

\( \sin x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} \).

Это означает, что у нас два случая:

Случай 1: \( \sin x = \frac{\sqrt{2}}{2} \).

Общее решение для этого случая: \( x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k \) или \( x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k \), где \( k \) — любое целое число. Можно записать как \( x = (-1)^n \frac{\pi}{4} + \pi n \).

Случай 2: \( \sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2} \).

Общее решение для этого случая: \( x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k \) или \( x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi k \), где \( k \) — любое целое число. Можно записать как \( x = (-1)^m (-\frac{\pi}{4}) + \pi m \).

Объединив оба случая, получаем корни, которые соответствуют углам \( \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4} \) (и им, добавленным на \( 2\pi k \)).

Все эти решения можно записать более компактно:

\( x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2} \) или \( x = \frac{3\pi}{4} + \frac{\pi n}{2} \), где \( n \) — любое целое число.

Можно также записать как \( x = \pm \frac{\pi}{4} + \pi k \) и \( x = \pm \frac{3\pi}{4} + \pi k \).

Наиболее компактная запись:

\( x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2} \), где \( n \in ℤ \).

Ответ: \( x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2} \), где \( n ∈ ℤ \)