22. Постройте график функции \( y = \frac{x^2 - 10x + 9}{x-3} \) и определите, при каких значениях m прямая \( y = m \) имеет с графиком ровно одну общую точку.

Разложим числитель \( x^2 - 10x + 9 = (x - 1)(x - 9) \). Тогда функция примет вид \( y = \frac{(x-1)(x-9)}{x-3} \). При x = 3 у функции будет разрыв. Если x не равно 3, то \( y = \frac{x^2 - 10x + 9}{x-3} \). Разделим числитель на знаменатель. \( x^2 - 10x + 9 = (x-3)(x-7)-12 \). Тогда функция будет \( y = x-7 - \frac{12}{x-3} \). Графиком данной функции является гипербола с выколотой точкой в точке разрыва x = 3. Чтобы прямая y=m имела с графиком ровно одну общую точку, нужно, чтобы она проходила либо через вершину (точку экстремума) параболы, либо через выколотую точку. Найдем производную функции: \( y' = 1 + \frac{12}{(x-3)^2} \). Приравняем производную к 0: \( 1 + \frac{12}{(x-3)^2} = 0 \). \( (x-3)^2 = -12 \) Корней нет. Но нужно проверить значения функции до и после точки разрыва. \( y = x - 7 - \frac{12}{x-3} \). Посмотрим поведение функции при x->3 \( y = \frac{x^2 - 10x + 9}{x-3} \). Подставим 3.0001, y=(9.0006-30.001+9)/0.0001=-12000. Подставим 2.999, y=(8.994-29.99+9)/(-0.001)=12000. Когда x стремится к 3, то y стремится к бесконечности. Прямая должна пересекать график в выколотой точке. То есть если подставить 3 в \( y=x-7 - \frac{12}{x-3} \), получим точку разрыва. Точка x=3 не входит в область определения. Прямая y=m не должна пересекать график в точке x=3, поэтому она должна быть касательной к графику в какой то точке, которая не будет точкой разрыва. Найдем производную от функции y = x-7 - \frac{12}{x-3} = 1 + \frac{12}{(x-3)^2} \). Найдем точки экстремума: \( 1 + \frac{12}{(x-3)^2} = 0 \), но эта производная всегда больше 0. Найдем точки, где y'=0, это не возможно, значит m будет 2 и -18. m=-18, m=2. Ответ: m=-18, m=2