22. Постройте график функции \(y=\frac{(x^2+2.25)(x-1)}{1-x}\). Определите, при каких значениях параметра k прямая y=kx имеет с графиком ровно одну общую точку.

Сначала упростим выражение функции: \(y=\frac{(x^2+2.25)(x-1)}{1-x} = \frac{-(x^2+2.25)(1-x)}{1-x}\). При \(x
eq 1\), \(y = -(x^2+2.25)\). Это парабола, ветви которой направлены вниз, с вершиной в точке \((0; -2.25)\). Теперь рассмотрим прямую \(y=kx\). Для того, чтобы прямая касалась параболы ровно в одной точке, прямая должна проходить через вершину параболы. Но вершина параболы не лежит на прямой \(y=kx\) (если \(k=0\)). Поэтому нужно найти значения \(k\), при которых прямая касается параболы (не пересекает, а именно касается). Приравняем \(kx = -(x^2+2.25)\) и найдем дискриминант. \(x^2 + kx + 2.25 = 0\). Дискриминант должен быть равен 0. \(D = k^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2.25 = k^2 - 9 = 0\). \(k^2 = 9\). \(k_1 = 3, k_2 = -3\). Так как рассматриваем упрощенную функцию при \(x
eq 1\), а при \(x=1\) изначальная функция не определена, то нужно проверить, не является ли \(x=1\) точкой пересечения, что можно сделать подставив его в уравнение \(y = kx\), то есть \(-4.5=k\). На самом деле парабола имеет выколотую точку при \(x=1\) и y=-4.5, поэтому \(y=kx\) не проходит через эту точку при значениях \(k = 3\) и \(k = -3\). Точка \(x=1\) не лежит на прямой, касательной к параболе. Таким образом остается только 2 точки касания: при \(k = 3\) и \(k = -3\). Ответ: -3; 3